Jeudi – Fonction logarithme népérien (bases)

Objectif

  • Comprendre la fonction logarithme népérien \(\ln\)
  • Connaître ses propriétés essentielles
  • Faire le lien avec la fonction exponentielle
  • Étudier une fonction logarithme simple

1️⃣ Définition et propriétés

On rappelle que \(\ln\) est la fonction réciproque de \(\exp\).

  1. Domaine de définition de \(\ln(x)\)
  2. \[\ln(1)\]
  3. \[\ln(e)\]
  4. \(\ln(ab)\) pour \(a>0, b>0\)
  5. \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)\) pour \(a>0, b>0\)

2️⃣ Calculs simples

Simplifier :

  1. \[\ln(e^2)\]
  2. \[e^{\ln(5)}\]
  3. \[\ln(e^{-3})\]
  4. \[\ln(1)\]

3️⃣ Étude de la fonction logarithme

Soit la fonction : \(f(x) = \ln(x)\)

  1. Domaine de définition
  2. Calculer la dérivée de \(f\)
  3. Étudier le sens de variation
  4. Donner \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x)\)
  5. Donner \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x)\)

4️⃣ Fonctions logarithmes simples

Étudier les fonctions suivantes :

  1. \[g(x) = \ln(x) + 2\]
  2. \[h(x) = \ln(2x)\]

Pour chacune :

  • Domaine
  • Dérivée
  • Sens de variation

💡 Astuces pour jeudi

  • \(\ln(x)\) n’est défini que pour \(x>0\)
  • \(\ln\) est strictement croissante
  • \(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln(x)} = x\) (si \(x>0\))
  • Toujours vérifier le domaine en premier

🎯 Rappel PHASE 1

Exponentielle et logarithme vont toujours ensemble : maîtriser l’un sans l’autre est impossible.

© 2026 PatFolio