Mardi – Équations et comparaisons avec l’exponentielle

Objectif

  • Résoudre des équations simples avec \(e^x\)
  • Comprendre l’usage du logarithme sans encore le formaliser
  • Comparer des expressions contenant une exponentielle
  • Installer des réflexes solides

1️⃣ Équations exponentielles simples

Résoudre :

  1. \[e^x = 1\]
  2. \[e^x = e^3\]
  3. \[e^{x-2} = e^5\]

2️⃣ Équations ramenées à une exponentielle

Résoudre :

  1. \[e^x = 7\]
  2. \[2e^x = 10\]
  3. \[e^{2x} = e^4\]

(On admet que l’équation \(e^x = a\) avec \(a>0\) admet une solution unique.)

3️⃣ Comparaisons avec exponentielle

Comparer (sans calculatrice) :

  1. \[e^2 \quad \text{et} \quad e^3\]
  2. \[e^{-1} \quad \text{et} \quad 1\]
  3. \[e^x \quad \text{et} \quad e^{x+1}\]

Justifier brièvement.

4️⃣ Étude d’une fonction exponentielle composée

Soit la fonction : \(f(x) = e^{2x - 1}\)

  1. Domaine de définition
  2. Dérivée de \(f\)
  3. Sens de variation

💡 Astuces pour mardi

  • \(e^x\) est strictement croissante
  • \[e^a = e^b \Rightarrow a = b\]
  • Une exponentielle ne s’annule jamais
  • Toujours isoler \(e^x\) avant de résoudre

🎯 Rappel PHASE 1

Ici, tu construis les bases qui rendront le logarithme naturel et facile.

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